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<title>Exponentieller Prozess</title>
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<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Exponentieller Prozess</span></h1>
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<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr">
<p>Bei einem <b>exponentiellen Prozess</b> handelt es sich um einen Vorgang, bei dem sich eine Größe <a href="Exponentialfunktion" title="Exponentialfunktion">exponentiell</a> ändert. Man unterscheidet zwischen
</p>
<ul><li><a href="Exponentielles_Wachstum" title="Exponentielles Wachstum">exponentiellem Wachstum</a>, bei dem eine Größe immer schneller wächst, und</li>
<li>exponentieller Annäherung, bei der sich eine Größe einem vorgegebenen festen Wert annähert. Der praktisch wichtigste Spezialfall hiervon ist der exponentielle Zerfall (Abbau), bei dem eine Größe sich <a href="Monotone_Zahlenfolge" title="Monotone Zahlenfolge">monoton abnehmend</a> immer langsamer der Null nähert, aber nie erreicht.</li></ul>
<p>Meistens geht es dabei um <i>zeitliche</i> Änderungen.
</p>
<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Exponentielles_Wachstum">Exponentielles Wachstum</h2></div>
<div class="hauptartikel" role="navigation"><span class="hauptartikel-pfeil" title="siehe" aria-hidden="true" role="presentation">→ </span><i><span class="hauptartikel-text">Hauptartikel</span>: <a href="Exponentielles_Wachstum" title="Exponentielles Wachstum">Exponentielles Wachstum</a></i></div>
<p>Wenn bei einem Wachstumsprozess einer Größe <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>A</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"></span> die Wachstumsrate <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0">
<mfrac>
<mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="normal">d</mi>
</mrow>
<mi>A</mi>
</mrow>
<mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="normal">d</mi>
</mrow>
<mi>t</mi>
</mrow>
</mfrac>
</mstyle>
</mrow>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f6fe386d8b9d31f2eabdd004ba03f6b20aeef6b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:2.983ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}}" loading="lazy"></span> (also die positive zeitliche Änderung der Größe) <a href="Proportional" class="mw-redirect" title="Proportional">proportional</a> zur Größe <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>A</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"></span> selbst ist, liegt exponentielles Wachstum vor:
</p>
<dl><dd><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}\sim A}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mfrac>
<mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="normal">d</mi>
</mrow>
<mi>A</mi>
</mrow>
<mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="normal">d</mi>
</mrow>
<mi>t</mi>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
<mo>∼<!-- ∼ --></mo>
<mi>A</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}\sim A}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/031f4b533bdd72f1b67fa8bcdaf562f41a7216cd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:8.713ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}\sim A}" loading="lazy"></span></dd></dl>
<p>Mit der Proportionalitätskonstanten <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau }">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>τ<!-- τ --></mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau }</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/38a7dcde9730ef0853809fefc18d88771f95206c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.202ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \tau }" loading="lazy"></span> erhält man aus dieser Proportionalitätsbeziehung die <a href="Differentialgleichung" title="Differentialgleichung">Differentialgleichung</a>
</p>
<dl><dd><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau \cdot {\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}=A,}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>τ<!-- τ --></mi>
<mo>⋅<!-- ⋅ --></mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mfrac>
<mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="normal">d</mi>
</mrow>
<mi>A</mi>
</mrow>
<mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="normal">d</mi>
</mrow>
<mi>t</mi>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
<mo>=</mo>
<mi>A</mi>
<mo>,</mo>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau \cdot {\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}=A,}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/999a9586944e6c638b4e83e6a102c63baeea74ad.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:12.241ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle \tau \cdot {\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}=A,}" loading="lazy"></span></dd></dl>
<p>deren Lösung eine <a href="Exponentialfunktion" title="Exponentialfunktion">Exponentialfunktion</a> ist:
</p>
<dl><dd><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A(t)=A_{0}\cdot \mathrm {e} ^{\frac {t}{\tau }}}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>A</mi>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>t</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>A</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>0</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>⋅<!-- ⋅ --></mo>
<msup>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="normal">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mfrac>
<mi>t</mi>
<mi>τ<!-- τ --></mi>
</mfrac>
</mrow>
</msup>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A(t)=A_{0}\cdot \mathrm {e} ^{\frac {t}{\tau }}}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a3df046046431bd39bc2a1f65c08528333c4e8b2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.758ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle A(t)=A_{0}\cdot \mathrm {e} ^{\frac {t}{\tau }}}" loading="lazy"></span></dd></dl>
<p>Damit bekommt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau }">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>τ<!-- τ --></mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau }</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/38a7dcde9730ef0853809fefc18d88771f95206c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.202ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \tau }" loading="lazy"></span> die Bedeutung einer Zeitspanne, in der die Größe <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>A</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"></span> jeweils auf das <a href="Eulersche_Zahl" title="Eulersche Zahl">e</a>-fache anwächst. <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{0}}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msub>
<mi>A</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>0</mn>
</mrow>
</msub>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{0}}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7c98dbd929292d464de6942e95db306b8b8a6fca.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.797ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A_{0}}" loading="lazy"></span> ist der Wert der Größe <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>A</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"></span> zu Beginn (bei Zeit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t=0}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>t</mi>
<mo>=</mo>
<mn>0</mn>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t=0}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/43469ec032d858feae5aa87029e22eaaf0109e9c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.101ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle t=0}" loading="lazy"></span>).
</p>
<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Exponentielle_Abnahme">Exponentielle Abnahme</h2></div>
<p>Ist die Abnahme einer Größe proportional zum jeweiligen Wert der Größe selbst, so spricht man von <i>exponentiellem Zerfall</i>, <i>exponentiellem Abfall</i> oder <i>exponentieller Abnahme</i>; die Kurve verläuft asymptotisch.
</p>
<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Beispiele">Beispiele</h3></div>
<p><i>Zeitlich</i> exponentielle Abnahme:
</p>
<ul><li><a href="Zerfallsgesetz" title="Zerfallsgesetz">Radioaktiver Zerfall</a>: In jeder Sekunde zerfällt ein feststehender Prozentsatz der vorhandenen Atomkerne der Substanz; je weniger Kerne noch vorliegen, desto langsamer nimmt ihre Zahl ab</li>
<li>Entladen eines <a href="Kondensator_(Elektrotechnik)" title="Kondensator (Elektrotechnik)">Kondensators</a> über einen <a href="Widerstand_(Bauelement)" title="Widerstand (Bauelement)">Widerstand</a></li>
<li><a href="Selbstinduktion" class="mw-redirect" title="Selbstinduktion">Selbstinduktions</a>spannung bei Spannungsänderungen an einer <a href="Spule_(Elektrotechnik)" title="Spule (Elektrotechnik)">Spule</a></li>
<li>Stromstärke beim Ausschaltvorgang einer Spule</li>
<li>Schwingungsamplitude eines <a href="Ged%C3%A4mpfte_Schwingung" class="mw-redirect" title="Gedämpfte Schwingung">gedämpften Pendels</a> (bei <a href="Str%C3%B6mungswiderstand#Laminare_Strömung" title="Strömungswiderstand">Stokes-Reibung</a>)</li>
<li>Katalytischer Abbau von Stoffen durch eine <a href="Chemische_Reaktion" title="Chemische Reaktion">chemische Reaktion</a>, siehe <a href="Exponentialfunktion#Chemie" title="Exponentialfunktion">Exponentialfunktion#Chemie</a>, <a href="Kinetik_(Chemie)#Reaktionen_erster_Ordnung" title="Kinetik (Chemie)">Kinetik (Chemie)#Reaktionen erster Ordnung</a>.</li>
<li><a href="Relaxation_(NMR)" title="Relaxation (NMR)">Relaxation (NMR)</a>: Wiederaufbau der longitudinalen oder Zerfall der transversalen <a href="Kernresonanzspektroskopie" class="mw-redirect" title="Kernresonanzspektroskopie">Kernmagnetisierung</a> nach einer Störung.</li>
<li>Entleeren eines Wasserbehälters durch einen dünnen Schlauch am Boden: Je tiefer der Wasserstand fällt, desto geringer wird der Wasserdruck im Schlauch und desto langsamer strömt das Wasser aus</li>
<li>Flutkurve, Rückgang einer Flut in einem Fluss (Gebiet)</li>
<li>Sedimentation (Absetzvorgänge, Abbauvorgänge)</li>
<li>Wundheilung</li>
<li>Ernüchterung</li></ul>
<p><i>Räumlich</i> (mit der Eindringtiefe) exponentielle Abnahme:
</p>
<ul><li><a href="Absorptionsgesetz_(Physik)" title="Absorptionsgesetz (Physik)">Absorption</a> mancher <a href="Strahlung" title="Strahlung">Strahlungen</a> in <a href="Homogenit%C3%A4t" title="Homogenität">homogenem</a> Material</li></ul>
<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Mathematische_Darstellung">Mathematische Darstellung</h3></div>
<p>Da die Abnahme eine negative Änderung ist, lautet die Differentialgleichung (hier für zeitliche Abnahme geschrieben) jetzt
</p>
<dl><dd><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -\tau \cdot {\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}=A}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mo>−<!-- − --></mo>
<mi>τ<!-- τ --></mi>
<mo>⋅<!-- ⋅ --></mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mfrac>
<mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="normal">d</mi>
</mrow>
<mi>A</mi>
</mrow>
<mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="normal">d</mi>
</mrow>
<mi>t</mi>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
<mo>=</mo>
<mi>A</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -\tau \cdot {\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}=A}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/721384075b7c912c6c194fbe06c286a461a7d0e7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:13.403ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle -\tau \cdot {\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}=A}" loading="lazy"></span> (es ist üblich, ein positives <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau }">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>τ<!-- τ --></mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau }</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/38a7dcde9730ef0853809fefc18d88771f95206c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.202ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \tau }" loading="lazy"></span> anzunehmen und das <a href="Vorzeichen_(Zahl)" title="Vorzeichen (Zahl)">Vorzeichen</a> in die Gleichung zu schreiben)</dd></dl>
<p>und deren Lösung ist
</p>
<dl><dd><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A(t)=A_{0}\cdot \mathrm {e} ^{-{\frac {t}{\tau }}}}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>A</mi>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>t</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>A</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>0</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>⋅<!-- ⋅ --></mo>
<msup>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="normal">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo>−<!-- − --></mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mfrac>
<mi>t</mi>
<mi>τ<!-- τ --></mi>
</mfrac>
</mrow>
</mrow>
</msup>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A(t)=A_{0}\cdot \mathrm {e} ^{-{\frac {t}{\tau }}}}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33d78dd80eef7fd691c943fd722949001c2604cb.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:16.036ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle A(t)=A_{0}\cdot \mathrm {e} ^{-{\frac {t}{\tau }}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>
<p><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau }">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>τ<!-- τ --></mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau }</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/38a7dcde9730ef0853809fefc18d88771f95206c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.202ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \tau }" loading="lazy"></span> ist also die Zeitspanne, in der die Größe <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>A</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"></span> jeweils auf das <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\tfrac {1}{\mathrm {e} }}}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="false" scriptlevel="0">
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="normal">e</mi>
</mrow>
</mfrac>
</mstyle>
</mrow>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\tfrac {1}{\mathrm {e} }}}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e12f0067518127c4626462597f4785ed1597ac0f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:1.658ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle {\tfrac {1}{\mathrm {e} }}}" loading="lazy"></span> -fache (etwa 37 %) abfällt. Man nennt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau }">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>τ<!-- τ --></mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau }</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/38a7dcde9730ef0853809fefc18d88771f95206c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.202ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \tau }" loading="lazy"></span> <a href="Zeitkonstante" title="Zeitkonstante">Zeitkonstante</a>, in der Physik auch <a href="Lebensdauer_(Physik)" class="mw-redirect" title="Lebensdauer (Physik)">Lebensdauer</a>.
</p><p>Eine anschaulichere Größe anstelle von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau }">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>τ<!-- τ --></mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau }</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/38a7dcde9730ef0853809fefc18d88771f95206c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.202ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \tau }" loading="lazy"></span> ist die <a href="Halbwertszeit" title="Halbwertszeit">Halbwertszeit</a>. Sie gibt an, innerhalb welcher Zeitspanne die Größe immer auf die Hälfte abnimmt, und lässt sich leicht aus der Zeitkonstante berechnen:
</p>
<dl><dd><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle T_{\text{1/2}}=\ln \,(2)\cdot \tau \approx 0{,}6931\cdot \tau }">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msub>
<mi>T</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mtext>1/2</mtext>
</mrow>
</msub>
<mo>=</mo>
<mi>ln</mi>
<mspace width="thinmathspace"></mspace>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mn>2</mn>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mo>⋅<!-- ⋅ --></mo>
<mi>τ<!-- τ --></mi>
<mo>≈<!-- ≈ --></mo>
<mn>0,693</mn>
<mn>1</mn>
<mo>⋅<!-- ⋅ --></mo>
<mi>τ<!-- τ --></mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle T_{\text{1/2}}=\ln \,(2)\cdot \tau \approx 0{,}6931\cdot \tau }</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/668eb3f7706267759a051946177c6815464e3a09.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:27.772ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle T_{\text{1/2}}=\ln \,(2)\cdot \tau \approx 0{,}6931\cdot \tau }" loading="lazy"></span></dd></dl>
<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Exponentielle_Annäherung"><span id="Exponentielle_Ann.C3.A4herung"></span>Exponentielle Annäherung</h2></div>
<p>Bei vielen physikalischen Prozessen gleicht sich eine <a href="Physikalische_Gr%C3%B6%C3%9Fe" title="Physikalische Größe">physikalische Größe</a> zwischen zwei miteinander verbundenen Körpern/Systemen aus.
</p>
<p>Beispiele:
</p>
<ul><li>Die Temperatur eines Metallstücks gleicht sich an die Umgebungstemperatur an.</li>
<li>Die Temperaturen zweier unterschiedlich heißer, wärmeleitfähig verbundener Metallklötze gleichen sich einander an.</li>
<li>Die Spannung eines zu ladenden <a href="Kondensator_(Elektrotechnik)" title="Kondensator (Elektrotechnik)">Kondensators</a> nähert sich der Ladespannung an.</li>
<li>Die Stromstärke beim Einschaltvorgang einer <a href="Spule_(Elektrotechnik)" title="Spule (Elektrotechnik)">Spule</a> nähert sich der durch das <a href="Ohmsches_Gesetz" title="Ohmsches Gesetz">ohmsche Gesetz</a> gegebenen Stromstärke an.</li>
<li>Die Wasserstände zweier unterschiedlich gefüllter, mit einem dünnen Schlauch verbundener Wasserbehälter gleichen sich einander an.</li>
<li><a href="Diffusion" title="Diffusion">Diffusion</a>: Die Konzentrationen eines gelösten Stoffes in zwei miteinander verbundenen Kammern gleichen sich aus.</li>
<li>Die Fallgeschwindigkeit eines Körpers in einer Flüssigkeit endlicher Viskosität nähert sich ihrer Endgeschwindigkeit an (<a href="Str%C3%B6mungswiderstand#Laminare_Strömung" title="Strömungswiderstand">Stokes-Reibung</a>).</li></ul>
<p>Vielen dieser Beispiele ist gemeinsam, dass jeweils eine <a href="Intensive_Gr%C3%B6%C3%9Fe" class="mw-redirect" title="Intensive Größe">intensive Größe</a> und eine <a href="Extensive_Gr%C3%B6%C3%9Fe" class="mw-redirect" title="Extensive Größe">extensive Größe</a> miteinander in Beziehung stehen:
</p>
<ul><li><a href="Temperatur" title="Temperatur">Temperatur</a> und Wärmemenge (<a href="Thermische_Energie" title="Thermische Energie">thermische Energie</a>)</li>
<li><a href="Elektrische_Spannung" title="Elektrische Spannung">elektrische Spannung</a> und <a href="Elektrische_Ladung" title="Elektrische Ladung">elektrische Ladung</a> am Kondensator</li>
<li>Wasser<a href="Druck_(Physik)" title="Druck (Physik)">druck</a> und <a href="Volumen" title="Volumen">Volumen</a> (oder <a href="Stoffmenge" title="Stoffmenge">Stoffmenge</a>) in zylindrischen Behältern</li>
<li><a href="Konzentration_(Chemie)" title="Konzentration (Chemie)">Konzentration</a> und Stoffmenge.</li></ul>
<p>Die beiden Größen sind dabei jeweils proportional zueinander, und eine Differenz in der ersten Größe bewirkt, dass ein <a href="Fluss_(Physik)" title="Fluss (Physik)">Fluss</a> (oder Strom) der zweiten Größe zwischen den beiden Systemen fließt. Dieser wiederum bewirkt in den Systemen eine Änderung der ersten Größe:
</p>
<ul><li>Eine Temperaturdifferenz bewirkt einen Wärmefluss und damit Temperaturänderungen in beiden Körpern.</li>
<li>Eine Spannungsdifferenz am Kondensator bewirkt einen elektrischen Strom und damit eine Spannungsänderung.</li>
<li>Ein Konzentrationsgefälle bewirkt einen Stofftransport und damit Konzentrationsänderungen.</li>
<li>Eine Füllhöhendifferenz (und damit Druckdifferenz) bewirkt einen Materiefluss und damit Füllhöhenänderungen.</li></ul>
<p>Die zeitliche Änderung der intensiven Größe ist dabei proportional zur Stärke des jeweiligen Flusses, und diese ist proportional zur Differenz der Größe. In einem solchen Fall gilt für eine Größe <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>A</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"></span> also die Differentialgleichung
</p>
<dl><dd><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -\tau {\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}=A_{2}-A_{1}}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mo>−<!-- − --></mo>
<mi>τ<!-- τ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mfrac>
<mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="normal">d</mi>
</mrow>
<mi>A</mi>
</mrow>
<mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="normal">d</mi>
</mrow>
<mi>t</mi>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>A</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>−<!-- − --></mo>
<msub>
<mi>A</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -\tau {\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}=A_{2}-A_{1}}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fc1aeae6990bc4c69f845a31dd3574dbe35305e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:18.415ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle -\tau {\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}=A_{2}-A_{1}}" loading="lazy"></span></dd></dl>
<p>Dieser grundlegende <a href="Sachverhalt" title="Sachverhalt">Sachverhalt</a> ist für die oben beschriebenen Phänomene gleich, deshalb lassen sich Erkenntnisse und Gesetze zwischen diesen gut übertragen. Die <a href="Diffusion" title="Diffusion">Diffusionsgesetze</a> beispielsweise gelten ebenso für die Wärmeleitung und elektrische Ladung. (Elektrische Phänomene sind allerdings meist sehr schnell. Bei Flüssigkeiten/Gasen ohne starke Reibung/Dämpfung sorgt die <a href="Tr%C3%A4gheit" title="Trägheit">Trägheit</a> der bewegten Masse für zusätzliche Effekte, meist in Form von <a href="Schwingung" title="Schwingung">Schwingungen</a> und <a href="Schallwelle" class="mw-redirect" title="Schallwelle">Schallwellen</a>.)
</p><p>Ist einer der beiden Werte konstant (Außentemperatur, Ladespannung), so wird sich die betrachtete Größe an diesen Wert annähern. Sind beide Werte variabel, so werden sie sich aneinander annähern. In beiden Fällen nähern sich die Werte einem Endwert <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{\text{Ende}}}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msub>
<mi>A</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mtext>Ende</mtext>
</mrow>
</msub>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{\text{Ende}}}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f3a2265f40735472fd31b0c62dd1d675777e14b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.653ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A_{\text{Ende}}}" loading="lazy"></span> an, den man meist leicht berechnen kann.
</p><p>Als Differentialgleichung kann man schreiben
</p>
<dl><dd><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle -\tau {\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}=A-A_{\text{Ende}}}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mo>−<!-- − --></mo>
<mi>τ<!-- τ --></mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mfrac>
<mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="normal">d</mi>
</mrow>
<mi>A</mi>
</mrow>
<mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="normal">d</mi>
</mrow>
<mi>t</mi>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
<mo>=</mo>
<mi>A</mi>
<mo>−<!-- − --></mo>
<msub>
<mi>A</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mtext>Ende</mtext>
</mrow>
</msub>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle -\tau {\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}=A-A_{\text{Ende}}}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c0324f1e562b5dbf8b404b2e70bfc6a0d7ecd01d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:20.216ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle -\tau {\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}=A-A_{\text{Ende}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>
<p>mit der Lösung
</p>
<dl><dd><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A(t)=A_{\text{Ende}}+\left(A_{\text{Anfang}}-A_{\text{Ende}}\right)\mathrm {e} ^{-{\frac {t}{\tau }}}}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>A</mi>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>t</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mo>=</mo>
<msub>
<mi>A</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mtext>Ende</mtext>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mrow>
<msub>
<mi>A</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mtext>Anfang</mtext>
</mrow>
</msub>
<mo>−<!-- − --></mo>
<msub>
<mi>A</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mtext>Ende</mtext>
</mrow>
</msub>
</mrow>
<mo>)</mo>
</mrow>
<msup>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="normal">e</mi>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo>−<!-- − --></mo>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mfrac>
<mi>t</mi>
<mi>τ<!-- τ --></mi>
</mfrac>
</mrow>
</mrow>
</msup>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A(t)=A_{\text{Ende}}+\left(A_{\text{Anfang}}-A_{\text{Ende}}\right)\mathrm {e} ^{-{\frac {t}{\tau }}}}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/05f44518004511d709aef69895bd6b18f5d11a8e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:37.925ex; height:4.009ex;" alt="{\displaystyle A(t)=A_{\text{Ende}}+\left(A_{\text{Anfang}}-A_{\text{Ende}}\right)\mathrm {e} ^{-{\frac {t}{\tau }}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>
<p>Dabei ist <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{\text{Anfang}}}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msub>
<mi>A</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mtext>Anfang</mtext>
</mrow>
</msub>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{\text{Anfang}}}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e35c3dbec014b5aba2b8668d668a1b28aa4eb3e1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.005ex; width:7.183ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle A_{\text{Anfang}}}" loading="lazy"></span> der Wert von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>A</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"></span> zu Beginn (bei Zeit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t=0}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>t</mi>
<mo>=</mo>
<mn>0</mn>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t=0}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/43469ec032d858feae5aa87029e22eaaf0109e9c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.101ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle t=0}" loading="lazy"></span>).
</p><p>Der Exponentielle Abfall ist als Annäherung an den Wert 0 ein Spezialfall der Exponentiellen Annäherung mit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A_{\text{Ende}}=0}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msub>
<mi>A</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mtext>Ende</mtext>
</mrow>
</msub>
<mo>=</mo>
<mn>0</mn>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A_{\text{Ende}}=0}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9c8e76f33b67d236071c0b7bc25197bca8631ca2.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:9.913ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle A_{\text{Ende}}=0}" loading="lazy"></span>.
</p><p>Der Endwert A<sub>Ende</sub> wird nie erreicht, sondern nur immer besser angenähert. In der Praxis wird die immer kleinere Differenz zum Endwert irgendwann kleiner als die Messungenauigkeit. Nach der fünffachen <a href="Zeitkonstante" title="Zeitkonstante">Zeitkonstante</a> (<span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t=5\tau }">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>t</mi>
<mo>=</mo>
<mn>5</mn>
<mi>τ<!-- τ --></mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t=5\tau }</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7b300bbf6b148caf2254d1e6b3e6e22493342584.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.302ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle t=5\tau }" loading="lazy"></span>) ist die ursprüngliche Differenz bereits auf unter 1 % abgesunken, nach der siebenfachen (<span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle t=7\tau }">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>t</mi>
<mo>=</mo>
<mn>7</mn>
<mi>τ<!-- τ --></mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle t=7\tau }</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a1988f2b1d54552c7a708e593479e04a15803776.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:6.302ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle t=7\tau }" loading="lazy"></span>) auf unter 1 ‰.
</p><p>Die Zeitkonstante <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau }">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>τ<!-- τ --></mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau }</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/38a7dcde9730ef0853809fefc18d88771f95206c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.202ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \tau }" loading="lazy"></span> lässt sich im konkreten Fall bestimmen und hängt ab von Größen wie allgemeinen Widerständen und Kapazitäten. Beispielsweise ist beim Auf- oder Entladen eines Kondensators mit der <a href="Elektrische_Kapazit%C3%A4t" title="Elektrische Kapazität">Kapazität</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle C}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>C</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle C}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4fc55753007cd3c18576f7933f6f089196732029.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.766ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle C}" loading="lazy"></span> über einen <a href="Widerstand_(Bauelement)" title="Widerstand (Bauelement)">Widerstand</a> mit dem Wert <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>R</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4b0bfb3769bf24d80e15374dc37b0441e2616e33.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle R}" loading="lazy"></span>:
</p>
<dl><dd><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tau =R\cdot C}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>τ<!-- τ --></mi>
<mo>=</mo>
<mi>R</mi>
<mo>⋅<!-- ⋅ --></mo>
<mi>C</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tau =R\cdot C}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/152d82b8764c953b10de5b9106d6ec4c3aa99cb0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.51ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \tau =R\cdot C}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>
<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>
<ul><li><a href="Lebensdauer_(Physik)" class="mw-redirect" title="Lebensdauer (Physik)">Lebensdauer (Physik)</a></li></ul>
<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>
<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"><span class="mw-default-size" typeof="mw:File"><span title="Wikibooks"></span></span></div><b><a href="https://de.wikibooks.org/wiki/Mathematrix:_Kompass/_Exponential_und_Logarithmus_Funktion/_Wachstum" class="extiw external" title="b:Mathematrix: Kompass/ Exponential und Logarithmus Funktion/ Wachstum">Wikibooks: <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\color {BlueViolet}{\begin{smallmatrix}{\mathbf {MATHE} \mu \alpha T\mathbb {R} ix}\end{smallmatrix}}}}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle mathcolor="#473992">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle scriptlevel="1">
<mtable rowspacing=".2em" columnspacing="0.333em" displaystyle="false">
<mtr>
<mtd>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">M</mi>
<mi mathvariant="bold">A</mi>
<mi mathvariant="bold">T</mi>
<mi mathvariant="bold">H</mi>
<mi mathvariant="bold">E</mi>
</mrow>
<mi>μ<!-- μ --></mi>
<mi>α<!-- α --></mi>
<mi>T</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="double-struck">R</mi>
</mrow>
<mi>i</mi>
<mi>x</mi>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mstyle>
</mrow>
</mstyle>
</mrow>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\color {BlueViolet}{\begin{smallmatrix}{\mathbf {MATHE} \mu \alpha T\mathbb {R} ix}\end{smallmatrix}}}}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/71f3bc3a8be9094ed6450336c9d0029276df282b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.342ex; margin-bottom: -0.33ex; width:13.904ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\color {BlueViolet}{\begin{smallmatrix}{\mathbf {MATHE} \mu \alpha T\mathbb {R} ix}\end{smallmatrix}}}}" loading="lazy"></span> Mathematik für die Schule</a></b> – Exponentielles Wachstum</div>
<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"><span class="mw-default-size" typeof="mw:File"><span title="Wikibooks"></span></span></div><b><a href="https://de.wikibooks.org/wiki/Mathematrix:_Kompass/_Exponential_und_Logarithmus_Funktion/_Zerfall" class="extiw external" title="b:Mathematrix: Kompass/ Exponential und Logarithmus Funktion/ Zerfall">Wikibooks: <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\color {BlueViolet}{\begin{smallmatrix}{\mathbf {MATHE} \mu \alpha T\mathbb {R} ix}\end{smallmatrix}}}}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle mathcolor="#473992">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle scriptlevel="1">
<mtable rowspacing=".2em" columnspacing="0.333em" displaystyle="false">
<mtr>
<mtd>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="bold">M</mi>
<mi mathvariant="bold">A</mi>
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<mi mathvariant="bold">H</mi>
<mi mathvariant="bold">E</mi>
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<mi>μ<!-- μ --></mi>
<mi>α<!-- α --></mi>
<mi>T</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi mathvariant="double-struck">R</mi>
</mrow>
<mi>i</mi>
<mi>x</mi>
</mrow>
</mtd>
</mtr>
</mtable>
</mstyle>
</mrow>
</mstyle>
</mrow>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\color {BlueViolet}{\begin{smallmatrix}{\mathbf {MATHE} \mu \alpha T\mathbb {R} ix}\end{smallmatrix}}}}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/71f3bc3a8be9094ed6450336c9d0029276df282b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.342ex; margin-bottom: -0.33ex; width:13.904ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle {\color {BlueViolet}{\begin{smallmatrix}{\mathbf {MATHE} \mu \alpha T\mathbb {R} ix}\end{smallmatrix}}}}" loading="lazy"></span> Mathematik für die Schule</a></b> – Exponentielle Abnahme</div></div><!--htdig_noindex--><div><div class="zim-footer">
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